《解析几何》课程大纲

一、 课程简介

《解析几何》是高校数学类专业学生必修的一门重要基础课，它不仅在数学学科中占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用。解析几何主要是利用代数方法解决几何问题，其主要内容包括向量代数、轨迹与方程、空间直线和平面、常见曲面、坐标变换 和二次曲线的一般理论。通过学习该课程，培养学生应用数形结合思想，几何与代数相互转化的思想解决实际问题，使学生空间想象力和逻辑推理能力得到进一步提升，为许多其他后继课程知识的学习奠定了重要的基础。

二、教学对象

四年制数学与应用数学专业学生

三、教学目的

通过本课程的学习，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，使学生有一定的几何素养，善于以坐标和向量为工具，把几何问题转化为代数方程以达到解决几何问题的目的，从而培养学生用形数结合的方法来解决问题的能力；熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，巧妙地进行某些几何量的计算，提高运用代数方法解决几何问题的能力；会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高学生的空间想象能力；掌握了基本理论后，为进一步学习后续课程打下良好基础，并在今后的中学数学教学中能处理相关问题。

四、教学要求

根据本门课程内容的特点，结合学生的基础，主要以多媒体辅助讲授法为主，对于特殊难以理解的部分应用分组讨论的形式进行教学。通过学习，使学生在掌握系统的空间解析几何基本知识和基本理论上，注意对学生渗透辩证唯物主义思想方法，理论联系实际，结合中学教学培养学生的作图能力；其次，具备娴熟的向量代数的计算能力、逻辑推理能力以及空间想象能力，能够用代数方法研究几何问题；最后，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力，进而使学生不断提高阅读、观察和思考问题能力，以及回想、猜想和解决问题的能力，增强其学习的信心和兴趣。本课程总课时为 75 课时，主要采用多媒 体辅助讲授法、分组讨论等教学方式进行授课，期末采用考试方式进行考核。

五、教学要求的基础内容及学时要求 学时分配

各章教学要求和教学内容

第一章向量与坐标

教学要求

1.理解向量和坐标的有关基本概念及其性质定理；

2.掌握向量的各种运算及其对应的几何意义；

3.掌握运用向量的坐标进行相关运算，利用向量或坐标解决一些初等几何问题。

教学内容

向量和坐标的有关的概念及其运算法则，向量的乘法运算（数量积、向量积和三向量的混合积）， 用向量或坐标解决一些初等几何问题。

第二章轨迹与方程

教学要求 

1.了解空间曲线、曲面方程的意义；

2.了解建立空间曲线、曲面方程的一般思想和方法。

教学内容

空间曲线、曲面方程的意义，建立平面曲线、空间曲线和曲面方程的一般思想和方法。

第三章平面与空间曲线

教学要求

1.了解平面和三元一次方程之间的关系；

2.理解并掌握根据不同的已知条件求出平面和空间直线的方程；

3.理解平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；

4.掌握并灵活运用点、平面、空间直线间的有关距离、夹角、平行、垂直的公式， 进行某些几何量的计算。

教学内容

平面和空间直线的方程，平面、直线间的位置关系，平面、空间直线间的有关距离、夹角、平行、垂直的公式。

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

教学要求

1.理解几种常见曲面的形成规律；

2.掌握求柱面、锥面和旋转曲面方程的一般方法和步骤；

3.理解根据二次曲面的标准方程，利用平行截割法来研究二次曲面的形状和性质；

4.理解二次曲面、空间曲线及区域简图；

5.了解曲面直纹性。

教学内容

柱面、锥面及旋转曲面方程的建立，二次曲面的标准方程，平行截割法来研究二次曲面的形状和性质，二次曲面、空间曲线及区域简图。

第五章二次曲线的一般理论

教学要求

1.了解二次曲线的概念和有关元素；

2.理解移轴、转轴对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标变换在化简二 次曲线方程中所起的作用；

3.理解二元二次方程所表示的曲线的类型；

4.掌握运用坐标变换和不变量的方法对二次曲线方程进行化简和分类，作出其图形。

教学内容 二次曲线的概念和有关元素，二次曲线的基本性质；二次曲线的化简与分类。

六、课程的其它教学环节 讨论课：从每章知识点中选择适当的内容，供学生讨论并讲解，总学时数为 13 学时。

习题课：根据学生的作业情况有针对性的讲解习题，总学时数为 8 学时。

七、考核方式和考核要求

1.考核方式：考试

2.考核要求：

第一章向量与坐标（约占 20%）

考核内容

向量的线性关系与分解，向量在轴上的射影，向量的数量积，向量的矢性积和向量的 混合积。

考核要求 理解有关向量的基本概念，掌握向量的各种运算及其对应的几何意义，掌握运用向量的

坐标进行运算，掌握用向量代数的知识解决某些初等几何问题。

第二章轨迹与方程（考查）

考核内容

曲面方程、空间曲线方程的相关概念。

考核要求

了解曲面方程与曲面的参数方程，了解球坐标系与柱坐标系的概念，了解空间曲线方程的表达形式，掌握坐标轴的方程、坐标面上圆曲线的方程。

第三章平面与空间直线（约占 30%）

 考核内容

平面方程，点到平面的距离，两平面间的位置关系，直线方程，直线与平面的位置关系，

两条直线的位置关系，点到直线的距离。

考核要求

理解并掌握平面和三元一次方程之间的相互关系，掌握根据不同的已知条件导出平面 和直线方程的各种形式，掌握运用点、直线、平面之间有关距离、夹角、平行、垂直的公式 进行某些几何量的计算。

第四章柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面（约占 20%）

考核内容

柱面，锥面，旋转曲面，椭球面；双曲面，抛物面。

考核要求

掌握几种常见曲面的形成规律，能由已知条件导出曲面方程，理解根据二次曲面的标准方程，利用平行截割法来研究二次曲面的形状和性质，掌握二次曲面的作图方法，提高空间想象能力。

第五章二次曲线的一般理论（约占 30%）

考核内容

平面直角坐标变换，利用坐标化简二次曲线的方程和二次曲线的分类，二次曲线在直角坐标变换下的不变量，利用不变量化简二次曲线的方程，二次曲线的直径、共轭直径和渐近线。

考核要求

理解并掌握二次曲线的概念和理论，理解坐标变换的导出并深入领会其实质，掌握运用坐标变换和不变量的方法对二次曲线方程进行化简并对其进行分类。

八、推荐教材、学习参考资源

1.推荐教材

吕林根，许子道《解析几何》 高等教育出版社2006 年第四版2.学习参考资源

①吕林根 《解析几何学习辅导书》 高等教育出版社2006 年第一版

②尤承业 《解析几何》 北京大学出版社2008 年第二版

③朱鼎勋，陈绍菱 《空间解析几何学》 北京师范大学出版社1984 年第一版

④莫定德 《空间解析几何》（教学与学习指导参考书） 中国文史出版社2004 年第一版

⑤王曙东 《解析几何》（第四版同步辅导及习题全解） 中国水利水电出版社2012 年第一版

⑥南开大学数学系 《空间解析几何引论》人民教育出版社1978 年第一版

执笔：周平2018 年 6 月

审定：邹敏2018 年 6 月